Desarrollamos un método numérico basado en aproximaciones de splines polinómicos cúbicos para resolver una ecuación de Black-Scholes generalizada. Aplicamos el método de Euler implícito para la discretización temporal y un método de splines polinómicos cúbicos para la discretización espacial. Demostramos que la matriz asociada al operador discreto es una matriz M, lo que garantiza que el esquema es estable según la norma máxima. Se demuestra que el esquema es convergente en segundo orden con respecto a la variable espacial. Ejemplos numéricos demuestran la estabilidad, convergencia y robustez del esquema.